NotePublic/有限冲击响应滤波器_无限冲击响应滤波器及其_C_语言实现.md at a9c615c6b534dc61e2c42e9f34c524057bc65f52

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1. 有限冲击响应滤波器

y(n)=\sum_{k=0}^{M}b(k)x(n-k)

double x[3] = {0, 0, 0};
const double b[4] = {0.4, 0.3, 0.2, 0.1}

double fir(double x) {
    double y;

    y = b[3]*x[0]+b[2]*x[1]+b[1]*x[2]+b[0]*x;
    x[0] = x[1];
    x[1] = x[2];
    x[2] = x;
    return y;
}

2. 无限冲击响应滤波器

y(n)=\sum_{k=0}^{M}b(k)x(n-k)-\sum_{l=1}^{N}a(l)y(n-l)

double y[3] = [0, 0, 0];
// 由于该项为减数，因此系数 a 依次取反
const double a[3] = {-0.577241, -0.421787, -0.056297};
double x[3] = {0, 0, 0};
const double b[4] = {0.2569, 0.7707, 0.7707, 0.2569a};

double iir(double x) {
    double y;

    y = b[3]*x[0]+b[2]*x[1]+b[1]*x[2]+b[0]*x
       +a[2]*y[0]+a[1]*y[1]+a[0]*y[2];
    
    x[0] = x[1];
    x[1] = x[2];
    x[2] = x;

    y[0] = y[1];
    y[1] = y[2];
    y[2] = y;

    return y;
}

3. 有限了什么，无限了什么

“有限冲击响应”、“无限冲击响应”中的“有限”和“无限”分别用于形容“响应”的。也就是滤波结果对系统造成了有限的影响还是无限的影响。

能够看到，无限冲击响应滤波器的当前输出结果不仅取决于输入，还取决于之前的输出，因此之后任意时刻的输出都将受到之前输入的影响，虽然过滤次数越多，这个影响越小，但其影响依然存在，因此响应是无限的。

有限冲击响应滤波器任意时刻的结果与之前的输出都没有关系，只有有限个输入对当前结果构成影响，因此响应是有限的。

由于无限冲击响应的存在，IIR 滤波器有可能出现震荡，从而变得不稳定。

4. 滤波器对相位的影响

如果滤波器的结果：

y_i=a_0x_{i-2}+a_1x_{i-1}+a_2x_i

那么，由于其输出只收到之前时刻的影响，因此其输出将落后原始信号两个相位。

如果滤波器的结果：

y_i=a_0x_{i-1}+a_1x_i+a_2x_{i+1}

那么，由于其输出不仅受到之前时刻的影响，也受到之后时刻的影响，因此其输出与输入相位相同。

可以看到，对于一个实时系统而言，由于无法预测之后的输出，因此其当前输出只能受到之前输出的影响，从而使滤波结果存在相位差。而对于一个非实时的系统来说，其使用当前的输入来修正之前的输出，因此其输出可以与原信号同相位。

为了满足相位相同，其计算公式必须为对称形式。

FIR 滤波器存在线性相位，而 IIR 滤波器存在非线性相位，在实际操作时 FIR 滤波器能偶做到与原信号同相位。

5. IIR 与 FIR 性能差别

FIR 可以做到线性相位；
FIR 不易震荡，更加稳定；
阶数相同的情况下，IIR 幅频特性更好。

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