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layout: post
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title: "有限冲击响应滤波器、无限冲击响应滤波器及其 C 语言实现"
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subtitle: ""
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description: "简要介绍 FIR 和 IIR 的实现及特性差别。"
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excerpt: "介绍 FIR 和 IIR 的实现及特性差别。"
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date: 2022-09-07 14:59:00
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author: "Rick Chan"
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tags: ["DSP", "FIR", "IIR"]
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categories: ["Algorithm"]
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published: true
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math: true
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- [1. 有限冲击响应滤波器](#1-有限冲击响应滤波器)
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- [2. 无限冲击响应滤波器](#2-无限冲击响应滤波器)
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- [3. 有限了什么，无限了什么](#3-有限了什么无限了什么)
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- [4. 滤波器对相位的影响](#4-滤波器对相位的影响)
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- [5. IIR 与 FIR 性能差别](#5-iir-与-fir-性能差别)
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如果滤波器的输出结果只取决于输入，则为有限冲激响应滤波器。
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如果滤波器的输出不仅取决于输入，还取决于输出，则为无限冲激响应滤波器。
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## 1. 有限冲击响应滤波器
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$$y(n)=\sum_{k=0}^{M}b(k)x(n-k)$$
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```cpp
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double x[3] = {0, 0, 0};
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const double b[4] = {0.4, 0.3, 0.2, 0.1}
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double fir(double x) {
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double y;
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y = b[3]*x[0]+b[2]*x[1]+b[1]*x[2]+b[0]*x;
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x[0] = x[1];
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x[1] = x[2];
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x[2] = x;
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return y;
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}
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```
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## 2. 无限冲击响应滤波器
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$$y(n)=\sum_{k=0}^{M}b(k)x(n-k)-\sum_{l=1}^{N}a(l)y(n-l)$$
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```cpp
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double y[3] = [0, 0, 0];
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// 由于该项为减数，因此系数 a 依次取反
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const double a[3] = {-0.577241, -0.421787, -0.056297};
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double x[3] = {0, 0, 0};
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const double b[4] = {0.2569, 0.7707, 0.7707, 0.2569a};
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double iir(double x) {
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double y;
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y = b[3]*x[0]+b[2]*x[1]+b[1]*x[2]+b[0]*x
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+a[2]*y[0]+a[1]*y[1]+a[0]*y[2];
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x[0] = x[1];
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x[1] = x[2];
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x[2] = x;
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y[0] = y[1];
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y[1] = y[2];
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y[2] = y;
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return y;
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}
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```
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## 3. 有限了什么，无限了什么
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“有限冲击响应”、“无限冲击响应”中的“有限”和“无限”分别用于形容“响应”的。也就是滤波结果对系统造成了有限的影响还是无限的影响。
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能偶看到，无限冲击响应滤波器的结果取决于之前的输出，因此之后任意时刻的输出都将受到之前输出的影响，虽然过滤次数越多，这个影响越小，但其影响依然存在，因此响应是无限的。
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有限冲击响应滤波器任意时刻的输出与输入都没有关系，因此响应是有限的。
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由于无限冲击响应的存在，IIR 滤波器有可能出现震荡，从而变得不稳定。
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## 4. 滤波器对相位的影响
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如果滤波器的结果：
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$$y_i=a_0x_{i-2}+a_1x_{i-1}+a_2x_i$$
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那么，由于其输出只收到之前时刻的影响，因此其输出将落后原始信号两个相位。
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如果滤波器的结果：
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$$y_i=a_0x_{i-1}+a_1x_i+a_2x_{i+1}$$
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那么，由于其输出不仅受到之前时刻的影响，也受到之后时刻的影响，因此其输出与输入相位相同。
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可以看到，对于一个实时系统而言，由于无法预测之后的输出，因此其当前输出只能受到之前输出的影响，从而使滤波结果存在相位差。而对于一个非实时的系统来说，其使用当前的输入来修正之前的输出，因此其输出可以与原信号同相位。
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为了满足相位相同，其计算公式必须为对称形式。
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FIR 滤波器存在线性相位，而 IIR 滤波器存在非线性相位，在实际操作时 FIR 滤波器能偶做到与原信号同相位。
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## 5. IIR 与 FIR 性能差别
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1. FIR 可以做到线性相位；
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2. FIR 不易震荡，更加稳定；
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3. 阶数相同的情况下，IIR 幅频特性更好。
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