添加傅里叶变换、拉普拉斯变换和 Z 变换.

Signed-off-by: lion.chan <cy187lion@sina.com>

Algorithm/DSP/傅里叶变换_拉普拉斯变换和_Z_变换.md

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+layout:      post
+title:       "傅里叶变换、拉普拉斯变换和 Z 变换"
+subtitle:    ""
+description: "对傅里叶变换、拉普拉斯变换和 Z 变换进行总体性的解释说明。"
+excerpt:     "介绍傅里叶变换、拉普拉斯变换和 Z 变换的含义。"
+date:        2022-09-07 11:10:00
+author:      "Rick Chan"
+tags:        ["DSP", "傅里叶变换", "拉普拉斯变换", "Z 变换"]
+categories:  ["Algorithm"]
+published:   true
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+
+- [1. 傅里叶变换](#1-傅里叶变换)
+- [2. 拉普拉斯变换](#2-拉普拉斯变换)
+- [3. Z 变换](#3-z-变换)
+
+## 1. 傅里叶变换
+
+傅里叶变换是将时域信号变换到频域，以方便进一步的分析和处理。傅里叶逆变换是将信号从频域变换到时域。
+
+傅里叶变换后，频域的基本单元为正弦波信号，傅里叶变换的就是原始信号变换成许多不同频率，不同幅值的正弦波组合。
+
+![信号的傅里叶分解](./img/傅里叶变换_拉普拉斯变换和_Z_变换/001.jpg)
+
+信号分解：
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+$$f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos{n\omega_0+\phi_n}+B$$
+
+傅里叶变换：
+
+$$F(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$$
+
+信号组合：
+
+$$f(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}F(n\omega_0)e^{j\omega_0 t}$$
+
+傅里叶逆变换：
+
+$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$
+
+## 2. 拉普拉斯变换
+
+傅里叶分解后，使用的正弦信号为等幅信号，也就是任意频率分量的幅值始终不变。如果原始信号在无穷远处的幅值无限增加，那么该信号显然无法用等幅的正弦信号组合而成，此时需要使用拉普拉斯变换。拉普拉斯变换是在原先傅里叶变换的基础上乘了一个因子而改善得到的，拉普拉斯变换的适用范围更广，可以将傅里叶变换视为拉普拉斯变换的一种特殊形式。
+
+拉普拉斯变换公式如下：
+
+$$F(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$$
+
+其中 $s=\sigma+j\omega$ 展开得展开式：
+
+$$F(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}dt$$
+
+如何将 $f(t)$ 与 $e^{-\sigma t}$ 组合，则为将原始信号进行衰减。由于 $e^{-\sigma t}$ 的衰减能力足够强，能够将更多类型的信号掰弯，因此拉普拉斯变换的适用范围比傅里叶变换广。
+
+![e^-t 图像](./img/傅里叶变换_拉普拉斯变换和_Z_变换/002.jpg)
+
+如果将 $e^{-j\omega t}$ 与 $e^{-\sigma t}$ 组合，则随时间变化改变了正弦信号的幅值，因此能组合出更多类型的原始信号。
+
+## 3. Z 变换
+
+Z 变换的实质是将离散的采样信号用多组不同频率和幅值离散的正弦点去表达，也就是拉普拉斯变换的离散表达：
+
+$$\begin{split}
+    F_s(s)=\int_{0}^{\infty}[\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)\delta(t-nT)]e^{-st}dt \\
+    =\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)e^{-snT} \\
+\end{split}$$
+
+令 $Z=e^st$，则
+
+$$=\sum_{n=0}^{\infty}f(nT)Z^{-n}$$
+
+以上公式的自变量 s 为拉普拉斯变换的 s，下角标 s 代表离散采样。$e^{-snT}=Z^{-n}$ 即为所述的离散正弦信号点。

Software/Applications/Octave/Octave_基本操作.md

@@ -31,7 +31,7 @@ published:   true
   - [7.6. 将绘图保存为图片](#76-将绘图保存为图片)
 - [8. 矢量](#8-矢量)
 - [9. 工具包](#9-工具包)
-  - [9.1. 安装工具包包](#91-安装工具包包)
+  - [9.1. 安装工具包](#91-安装工具包)
   - [9.2. 升级工具包](#92-升级工具包)
   - [9.3. 查看已安装的工具包](#93-查看已安装的工具包)
   - [9.4. 卸载工具包](#94-卸载工具包)
@@ -863,7 +863,7 @@ featuresX.dat   hello.mat   pricesY.dat
 
 之后会立即在一个新窗口生成我们想要的图形
 
-![sin 函数](img/Octave_基本操作/001.png)
+![sin](img/Octave_基本操作/001.png)
 
 接下来继续在这个图像上绘制 cos 函数,此时需要用到 hold on 命令，它的作用是将新图像画在旧图像上面，而不是覆盖旧图像。
 
@@ -878,7 +878,7 @@ featuresX.dat   hello.mat   pricesY.dat
 
 ![sin and cos](img/Octave_基本操作/002.png)
 
-## 7.2. 为图像加标签
+### 7.2. 为图像加标签
 
 图形有了，最后一步就是标明横轴和纵轴分别代表的含义，再给图形起一个有意义的名字
 
@@ -971,7 +971,7 @@ p = A * X‘ ；
 
 ## 9. 工具包
 
-### 9.1. 安装工具包包
+### 9.1. 安装工具包
 
 工具包检索和下载地址：<https://octave.sourceforge.io/packages.php>